מלבן, מעוין וריבועגאומטריה 571 · שיעור 18
גאומטריה 571 · מתחילים מהיסודות
שיעור 18: מלבן, מעוין וריבוע
פרק 5 · מרובעים
1מלבן: זוויות ישרות ואלכסונים שווים
2מעוין: אלכסונים מאונכים וחוצי זוויות; ריבוע
35 תרגילים, כולל מלבן בתוך משולש ישר זווית
הגדרה + משפטים
מלבן
מלבן הוא מקבילית שיש בה זווית ישרה – לכן יש לו את כל התכונות של מקבילית
📐 משפט: במלבן כל הזוויות ישרות
📐 משפט: במלבן האלכסונים שווים (וחוצים זה את זה)
AO = OC = BO = OD
האלכסונים שווים וחוצים זה את זה
📐 זיהוי: מקבילית עם זווית ישרה או עם אלכסונים שווים – מלבן. מרובע עם 3 זוויות ישרות – מלבן
📐 הגדרה
מלבן: מקבילית שיש בה זווית ישרה
📐 משפט
במלבן: כל הזוויות 90 מעלות והאלכסונים שווים (וחוצים זה את זה)
📐 משפט
במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה
הגדרה + משפטים
מעוין וריבוע
מעוין: מרובע שכל צלעותיו שוות. הוא גם מקבילית
📐 משפט: במעוין האלכסונים מאונכים זה לזה: AC ⊥ BD
📐 משפט: במעוין האלכסונים חוצים את הזוויות
📐 זיהוי: מקבילית עם שתי צלעות סמוכות שוות, או עם אלכסונים מאונכים – מעוין
ריבוע = מלבן + מעוין: כל הזוויות 90, כל הצלעות שוות, האלכסונים שווים, מאונכים וחוצים את הזוויות (45 + 45)
📐 הגדרה
מעוין: מרובע שכל צלעותיו שוות (הוא גם מקבילית)
📐 משפט
ריבוע הוא גם מלבן וגם מעוין: כל התכונות של שניהם
תרגיל 1 · אלכסונים במלבן · בינוני
ABCD מלבן, האלכסונים נפגשים ב־O
AC = 3x + 2 , BD = 5x − 6 , ∢OAB = 35
מצאו את x , AO ו־∢AOB
AC = 3x + 2 , BD = 5x − 6 , ∢OAB = 35
מצאו את x , AO ו־∢AOB
AC = BD
במלבן האלכסונים שווים
3x + 2 = 5x − 6
מציבים
2 + 6 = 5x − 3x ⟹ 8 = 2x
מעבירים אגפים וכינוס
x = 4 , AC = 3 · 4 + 2 = 14
מחלקים ב־2 ומציבים
AO = 14 : 2 = 7
האלכסונים חוצים זה את זה
OA = OB ← ∢OBA = ∢OAB = 35
△AOB שווה שוקיים – זוויות הבסיס שוות
∢AOB = 180 − 35 − 35 = 110
סכום הזוויות במשולש AOB
✅ פתרון סופי: x = 4 , AO = 7 , ∢AOB = 110
📐 משפט
במלבן: כל הזוויות 90 מעלות והאלכסונים שווים (וחוצים זה את זה)
📐 כלל
מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
📐 כלל
מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן
a + b = c ⟹ a = c − b
📐 כלל
מחלקים את שני האגפים באותו מספר (לא 0)
📐 משפט
במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה
📐 משפט
במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות
AB = AC ⟹ ∢B = ∢C
📐 משפט
סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות
∢A + ∢B + ∢C = 180
תרגיל 2 · זוויות במעוין · בינוני
ABCD מעוין, האלכסונים נפגשים ב־O , ונתון ∢DAB = 70
מצאו את ∢BAO , ∢ABO ו־∢ABC
מצאו את ∢BAO , ∢ABO ו־∢ABC
∢BAO = 70 : 2 = 35
במעוין האלכסונים חוצים את הזוויות
∢AOB = 90
במעוין האלכסונים מאונכים
∢ABO = 180 − 90 − 35 = 55
סכום הזוויות במשולש AOB
∢ABC = 180 − 70 = 110
במקבילית סכום זוויות סמוכות 180
💡 בדיקה: ∢ABC = 2 · 55 = 110 ✔ (האלכסון BD חוצה את ∢B)
✅ פתרון סופי: ∢BAO = 35 , ∢ABO = 55 , ∢ABC = 110
📐 משפט
במעוין: האלכסונים מאונכים זה לזה וחוצים את זוויות המעוין
📐 משפט
סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות
∢A + ∢B + ∢C = 180
📐 משפט
במקבילית הזוויות הנגדיות שוות, וסכום שתי זוויות סמוכות 180 מעלות
תרגיל 3 · היקף מעוין · קל
ABCD מעוין. AB = 3y + 1 , BC = 2y + 5
מצאו את y ואת היקף המעוין
מצאו את y ואת היקף המעוין
AB = BC
במעוין כל הצלעות שוות
3y + 1 = 2y + 5
מציבים
3y − 2y = 5 − 1 ⟹ y = 4
מעבירים אגפים וכינוס
AB = 3 · 4 + 1 = 13
מציבים y = 4
היקף: 4 · 13 = 52
ארבע צלעות שוות
✅ פתרון סופי: y = 4 , היקף המעוין 52
📐 הגדרה
מעוין: מרובע שכל צלעותיו שוות (הוא גם מקבילית)
📐 כלל
מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
📐 כלל
מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן
a + b = c ⟹ a = c − b
תרגיל 4 · הוכחה במלבן · בינוני
ABCD מלבן, ו־M אמצע הצלע AB
הוכיחו: MD = MC
הוכיחו: MD = MC
∢A = ∢B = 90
במלבן כל הזוויות ישרות
AD = BC
במלבן (מקבילית) הצלעות הנגדיות שוות
AM = MB
M אמצע AB
△AMD ≅ △BMC
צ.ז.צ
MD = MC
במשולשים חופפים צלעות מתאימות שוות
✅ פתרון סופי: הוכחנו: MD = MC
📐 משפט
במלבן: כל הזוויות 90 מעלות והאלכסונים שווים (וחוצים זה את זה)
📐 משפט
במקבילית הצלעות הנגדיות שוות
📐 משפט חפיפה
צ.ז.צ: שתי צלעות והזווית שביניהן
📐 כלל
במשולשים חופפים: צלעות מתאימות שוות וזוויות מתאימות שוות
תרגיל 5 · מורכב: מלבן בתוך משולש ישר זווית
במשולש ABC: ∢C = 90 , AB = 20 , M אמצע AB
MD ⊥ AC , ME ⊥ BC. הוכיחו ש־CDME מלבן ומצאו את DE
MD ⊥ AC , ME ⊥ BC. הוכיחו ש־CDME מלבן ומצאו את DE
∢C = ∢CDM = ∢CEM = 90
נתון: ∢C = 90 , MD ⊥ AC , ME ⊥ BC
CDME מלבן
מרובע עם שלוש זוויות ישרות
DE = CM
במלבן האלכסונים שווים
CM = AB : 2 = 20 : 2 = 10
במשולש ישר זווית התיכון ליתר שווה לחצי היתר
DE = 10
מציבים
✅ פתרון סופי: CDME מלבן , DE = 10
📐 משפט זיהוי
מרובע שיש בו שלוש זוויות ישרות הוא מלבן
📐 משפט
במלבן: כל הזוויות 90 מעלות והאלכסונים שווים (וחוצים זה את זה)
📐 משפט
במשולש ישר זווית התיכון ליתר שווה לחצי היתר
📐 כלל
מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
📌 מה למדנו היום
📐 משפט
במלבן: כל הזוויות 90 מעלות והאלכסונים שווים (וחוצים זה את זה)
📐 משפט
במעוין: האלכסונים מאונכים זה לזה וחוצים את זוויות המעוין
📐 משפט זיהוי
מקבילית עם זווית ישרה, או מקבילית עם אלכסונים שווים – היא מלבן
📐 משפט זיהוי
מקבילית עם שתי צלעות סמוכות שוות, או עם אלכסונים מאונכים – היא מעוין
📐 משפט
ריבוע הוא גם מלבן וגם מעוין: כל התכונות של שניהם
💡 מלבן ← אלכסונים שווים. מעוין ← אלכסונים מאונכים וחוצי זוויות. ריבוע ← גם וגם.
בשיעור הבא: טרפז ודלתון
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא